§ 2 标准正交基
定义与基本性质
定义 5 欧氏空间 VVV 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组。当然，以下讨论的正交向量组都是非空的。
正交向量组的线性无关性
不难证明，正交向量组是线性无关的。事实上，设正交向量组 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_mα1,α2,⋯,αm 有一线性关系
k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m = \mathbf{0}k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0
用 αi\alpha_iαi 与等式两边作内积，即得
ki(αi,αi)=0k_i(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_i) = 0ki(αi,αi)=0
由 αi≠0\alpha_i \neq 0αi=0，有 (αi,αi)>0(\alpha_i, \alpha_i) > 0(αi,αi)>0，从而 ki=0k_i = 0ki=0 (i=1,2,⋯ ,m)(i = 1, 2, \cdots, m)(i=1,2,⋯,m)。这就证明了 α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_mα1,α2,⋯,αm 是线性无关的。
这个结果说明，在 nnn 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过 nnn 个。这个事实的几何意义是清楚的。例如，在平面上找不到 3 个两两垂直的非零向量；在空间中，找不到 4 个两两垂直的非零向量。
从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性质的讨论中有特殊的地位。在欧氏空间中，情况是相仿的。
标准正交基的定义
定义 6 在 nnn 维欧氏空间中，由 nnn 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基。
设 ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn 是一组标准正交基，由定义，有
(εi,εj)={1,i=j0,i≠j(1)(\boldsymbol{\varepsilon}_i, \boldsymbol{\varepsilon}_j) = \begin{cases}
1, & i = j \\
0, & i \neq j
\end{cases} \tag{1}(εi,εj)={1,0,i=ji=j(1)
显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质。换句话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵。因为度量矩阵是正定的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵。这说明在 nnn 维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵。由此可以断言，在 nnn 维欧氏空间中，标准正交基是存在的。
标准正交基下的坐标表示
在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即
α=(ε1,α)ε1+(ε2,α)ε2+⋯+(εn,α)εn(2)\boldsymbol{\alpha} = (\varepsilon_1, \boldsymbol{\alpha}) \varepsilon_1 + (\varepsilon_2, \boldsymbol{\alpha}) \varepsilon_2 + \cdots + (\varepsilon_n, \boldsymbol{\alpha}) \varepsilon_n \tag{2}α=(ε1,α)ε1+(ε2,α)ε2+⋯+(εn,α)εn(2)
事实上，设
α=x1ε1+x2ε2+⋯+xnεn\alpha = x_1 \varepsilon_1 + x_2 \varepsilon_2 + \cdots + x_n \varepsilon_nα=x1ε1+x2ε2+⋯+xnεn
用 εi\varepsilon_iεi 与等式两边作内积，即得
xi=(εi,α),i=1,2,⋯ ,nx_i = (\boldsymbol{\varepsilon}_i, \boldsymbol{\alpha}), \quad i = 1, 2, \cdots, nxi=(εi,α),i=1,2,⋯,n
标准正交基下的内积表达式
在标准正交基下，内积有特别简单的表达式。设
α=x1ε1+x2ε2+⋯+xnεn\boldsymbol{\alpha} = x_1 \boldsymbol{\varepsilon}_1 + x_2 \boldsymbol{\varepsilon}_2 + \cdots + x_n \boldsymbol{\varepsilon}_nα=x1ε1+x2ε2+⋯+xnεn
β=y1ε1+y2ε2+⋯+ynεn\boldsymbol{\beta} = y_1 \boldsymbol{\varepsilon}_1 + y_2 \varepsilon_2 + \cdots + y_n \varepsilon_nβ=y1ε1+y2ε2+⋯+ynεn
那么
(α,β)=x1y1+x2y2+⋯+xnyn=XTY(3)(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n = \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Y} \tag{3}(α,β)=x1y1+x2y2+⋯+xnyn=XTY(3)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广。
应该指出，内积的表达式 (3)，对于任一组标准正交基都是一样的。这就说明了，所有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位。在下一节，这一点将得到进一步的说明。
正交基的扩充定理
下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基的求法。
定理 1 nnn 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基。
证明 设 α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 是一正交向量组，我们对 n−mn - mn−m 作数学归纳法。
当 n−m=0n - m = 0n−m=0 时，α1,α2,⋯ ,αm\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_mα1,α2,⋯,αm 就是一组正交基了。
假设 n−m=kn - m = kn−m=k 时定理成立，也就是说，可以找到向量 β1,β2,⋯ ,βk\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_kβ1,β2,⋯,βk，使得
α1,α2,⋯ ,αm,β1,β2,⋯ ,βk\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_kα1,α2,⋯,αm,β1,β2,⋯,βk
成为一组正交基。
现在来看 n−m=k+1n - m = k + 1n−m=k+1 的情形。因为 m αm+1=β−k1α1−k2α2−⋯−kmαm\boldsymbol{\alpha}_{m+1} = \boldsymbol{\beta} - k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 - k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 - \cdots - k_m \boldsymbol{\alpha}_mαm+1=β−k1α1−k2α2−⋯−kmαm 其中 k1,k2,⋯ ,kmk_1, k_2, \cdots, k_mk1,k2,⋯,km 是待定的系数。用 αi\boldsymbol{\alpha}_iαi 与 αm+1\boldsymbol{\alpha}_{m+1}αm+1 作内积，得 (αi,αm+1)=(β,αi)−ki(αi,αi),i=1,2,⋯ ,m(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_{m+1}) = (\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_i) - k_i(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_i), \quad i = 1, 2, \cdots, m(αi,αm+1)=(β,αi)−ki(αi,αi),i=1,2,⋯,m 取 ki=(β,αi)(αi,αi),i=1,2,⋯ ,mk_i = \frac{(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_i)}{(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_i)}, \quad i = 1, 2, \cdots, mki=(αi,αi)(β,αi),i=1,2,⋯,m 有 (αi,αm+1)=0,i=1,2,⋯ ,m(\boldsymbol{\alpha}_i, \boldsymbol{\alpha}_{m+1}) = 0, \quad i = 1, 2, \cdots, m(αi,αm+1)=0,i=1,2,⋯,m 由 β\boldsymbol{\beta}β 的选择可知，αm+1≠0\boldsymbol{\alpha}_{m+1} \neq \boldsymbol{0}αm+1=0。因此 α1,α2,⋯ ,αm,αm+1\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\alpha}_{m+1}α1,α2,⋯,αm,αm+1 是一正交向量组，根据归纳法假定，α1,α2,⋯ ,αm,αm+1\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m, \boldsymbol{\alpha}_{m+1}α1,α2,⋯,αm,αm+1 可以扩充成一正交基。于是定理得证。 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法。如果我们从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基。再单位化，就得到一组标准正交基。 Schmidt 正交化过程 在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空间的一组基。对于这种情形，有下面的结果： 定理 2 对于 nnn 维欧氏空间中任意一组基 ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn，都可以找到一组标准正交基 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn，使 L(ε1,ε2,⋯ ,εi)=L(η1,η2,⋯ ,ηi),i=1,2,⋯ ,nL(\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_i) = L(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_i), \quad i = 1, 2, \cdots, nL(ε1,ε2,⋯,εi)=L(η1,η2,⋯,ηi),i=1,2,⋯,n 证明 设 ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn 是一组基，我们来逐个地求出向量 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \eta_nη1,η2,⋯,ηn。 首先，可取 η1=1∣ε1∣ε1\boldsymbol{\eta}_1 = \frac{1}{|\varepsilon_1|} \varepsilon_1η1=∣ε1∣1ε1。一般地，假定已经求出 η1,η2,⋯ ,ηm\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_mη1,η2,⋯,ηm，它们是单位正交的，具有性质 L(ε1,ε2,⋯ ,εi)=L(η1,η2,⋯ ,ηi),i=1,2,⋯ ,mL(\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_i) = L(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_i), \quad i = 1, 2, \cdots, mL(ε1,ε2,⋯,εi)=L(η1,η2,⋯,ηi),i=1,2,⋯,m 下一步求 ηm+1\boldsymbol{\eta}_{m+1}ηm+1。 因为 L(ε1,ε2,⋯ ,εm)=L(η1,η2,⋯ ,ηm)L(\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_m) = L(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_m)L(ε1,ε2,⋯,εm)=L(η1,η2,⋯,ηm)，所以 εm+1\boldsymbol{\varepsilon}_{m+1}εm+1 不能被 η1,η2,⋯ ,ηm\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_mη1,η2,⋯,ηm 线性表出。按定理 1 证明中的方法，作向量 ξm+1=εm+1−∑i=1m(εm+1,ηi)ηi\boldsymbol{\xi}_{m+1} = \boldsymbol{\varepsilon}_{m+1} - \sum_{i=1}^{m}(\boldsymbol{\varepsilon}_{m+1}, \boldsymbol{\eta}_i) \boldsymbol{\eta}_iξm+1=εm+1−i=1∑m(εm+1,ηi)ηi 显然 ξm+1≠0\boldsymbol{\xi}_{m+1} \neq \mathbf{0}ξm+1=0，且 (ξm+1,ηi)=0,i=1,2,⋯ ,m(\boldsymbol{\xi}_{m+1}, \boldsymbol{\eta}_i) = 0, \quad i = 1, 2, \cdots, m(ξm+1,ηi)=0,i=1,2,⋯,m 令 ηm+1=ξm+1∣ξm+1∣\boldsymbol{\eta}_{m+1} = \frac{\boldsymbol{\xi}_{m+1}}{|\boldsymbol{\xi}_{m+1}|}ηm+1=∣ξm+1∣ξm+1 η1,η2,⋯ ,ηm,ηm+1\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_m, \boldsymbol{\eta}_{m+1}η1,η2,⋯,ηm,ηm+1 就是一单位正交向量组。同时 L(ε1,ε2,⋯ ,εm+1)=L(η1,η2,⋯ ,ηm+1)L(\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_{m+1}) = L(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_{m+1})L(ε1,ε2,⋯,εm+1)=L(η1,η2,⋯,ηm+1) 由归纳法原理，定理 2 得证。 应该指出，定理中的要求 L(ε1,ε2,⋯ ,εi)=L(η1,η2,⋯ ,ηi),i=1,2,⋯ ,nL(\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_i) = L(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_i), \quad i = 1, 2, \cdots, nL(ε1,ε2,⋯,εi)=L(η1,η2,⋯,ηi),i=1,2,⋯,n 就相当于由基 ε1,ε2,⋯ ,εn\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_nε1,ε2,⋯,εn 到基 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 的过渡矩阵是上三角形的。 定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做 Schmidt 正交化过程。 Schmidt 正交化的具体步骤 上面的计算过程实际上就是 ξ1=ε1ξ2=ε2−(ε2,ξ1)(ξ1,ξ1)ξ1⋮ξm+1=εm+1−(εm+1,ξ1)(ξ1,ξ1)ξ1−⋯−(εm+1,ξm)(ξm,ξm)ξm\begin{align} \boldsymbol{\xi}_1 &= \boldsymbol{\varepsilon}_1 \\ \boldsymbol{\xi}_2 &= \boldsymbol{\varepsilon}_2 - \frac{(\boldsymbol{\varepsilon}_2, \boldsymbol{\xi}_1)}{(\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_1)} \boldsymbol{\xi}_1 \\ &\vdots \\ \boldsymbol{\xi}_{m+1} &= \boldsymbol{\varepsilon}_{m+1} - \frac{(\boldsymbol{\varepsilon}_{m+1}, \boldsymbol{\xi}_1)}{(\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_1)} \boldsymbol{\xi}_1 - \cdots - \frac{(\boldsymbol{\varepsilon}_{m+1}, \boldsymbol{\xi}_m)}{(\boldsymbol{\xi}_m, \boldsymbol{\xi}_m)} \boldsymbol{\xi}_m \end{align}ξ1ξ2ξm+1=ε1=ε2−(ξ1,ξ1)(ε2,ξ1)ξ1⋮=εm+1−(ξ1,ξ1)(εm+1,ξ1)ξ1−⋯−(ξm,ξm)(εm+1,ξm)ξm 其中 m=1,2,⋯ ,n−1m = 1, 2, \cdots, n-1m=1,2,⋯,n−1。 再单位化 ηi=ξi∣ξi∣,i=1,2,⋯ ,n\boldsymbol{\eta}_i = \frac{\boldsymbol{\xi}_i}{|\boldsymbol{\xi}_i|}, \quad i = 1, 2, \cdots, nηi=∣ξi∣ξi,i=1,2,⋯,n 例题：Schmidt 正交化实例 例 把 α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α3=(−1,0,0,1),α4=(1,−1,−1,1)\boldsymbol{\alpha}_1 = (1,1,0,0), \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = (1,0,1,0), \quad \boldsymbol{\alpha}_3 = (-1,0,0,1), \quad \boldsymbol{\alpha}_4 = (1,-1,-1,1)α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α3=(−1,0,0,1),α4=(1,−1,−1,1) 变成单位正交向量组。 解 先把它们正交化，得 β1=α1=(1,1,0,0)β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1=(12,−12,1,0)β3=α3−(α3,β1)(β1,β1)β1−(α3,β2)(β2,β2)β2=(−13,13,13,1)β4=α4−(α4,β1)(β1,β1)β1−(α4,β2)(β2,β2)β2−(α4,β3)(β3,β3)β3=(1,−1,−1,1)\begin{align} \boldsymbol{\beta}_1 &= \boldsymbol{\alpha}_1 = (1,1,0,0) \\ \boldsymbol{\beta}_2 &= \boldsymbol{\alpha}_2 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1)} \boldsymbol{\beta}_1 = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1, 0\right) \\ \boldsymbol{\beta}_3 &= \boldsymbol{\alpha}_3 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1)} \boldsymbol{\beta}_1 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2)}{(\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2)} \boldsymbol{\beta}_2 = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1\right) \\ \boldsymbol{\beta}_4 &= \boldsymbol{\alpha}_4 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_1)} \boldsymbol{\beta}_1 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\beta}_2)}{(\boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_2)} \boldsymbol{\beta}_2 - \frac{(\boldsymbol{\alpha}_4, \boldsymbol{\beta}_3)}{(\boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_3)} \boldsymbol{\beta}_3 = (1,-1,-1,1) \end{align}β1β2β3β4=α1=(1,1,0,0)=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1=(21,−21,1,0)=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2=(−31,31,31,1)=α4−(β1,β1)(α4,β1)β1−(β2,β2)(α4,β2)β2−(β3,β3)(α4,β3)β3=(1,−1,−1,1) 再单位化，得 η1=(12,12,0,0)η2=(16,−16,26,0)η3=(−112,112,112,312)η4=(12,−12,−12,12)\begin{align} \boldsymbol{\eta}_1 &= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right) \\ \boldsymbol{\eta}_2 &= \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, 0\right) \\ \boldsymbol{\eta}_3 &= \left(-\frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{1}{\sqrt{12}}, \frac{3}{\sqrt{12}}\right) \\ \boldsymbol{\eta}_4 &= \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \end{align}η1η2η3η4=(21,21,0,0)=(61,−61,62,0)=(−121,121,121,123)=(21,−21,−21,21) 正交矩阵与基变换 上面讨论了标准正交基的求法。由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式。 设 ε1,ε2,⋯ ,εn\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_nε1,ε2,⋯,εn 与 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 是欧氏空间 VVV 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是 A=(aij)n×n\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}A=(aij)n×n 即 (η1,η2,⋯ ,ηn)=(ε1,ε2,⋯ ,εn)(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann)(\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_n) = (\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_n) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}(η1,η2,⋯,ηn)=(ε1,ε2,⋯,εn)a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋯a1na2n⋮ann 因为 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 是标准正交基，所以 (ηi,ηj)={1,i=j0,i≠j(4)(\boldsymbol{\eta}_i, \boldsymbol{\eta}_j) = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} \tag{4}(ηi,ηj)={1,0,i=ji=j(4) 矩阵 A\boldsymbol{A}A 的各列就是 η1,η2,⋯ ,ηn\boldsymbol{\eta}_1, \boldsymbol{\eta}_2, \cdots, \boldsymbol{\eta}_nη1,η2,⋯,ηn 在标准正交基 ε1,ε2,⋯ ,εn\boldsymbol{\varepsilon}_1, \boldsymbol{\varepsilon}_2, \cdots, \boldsymbol{\varepsilon}_nε1,ε2,⋯,εn 下的坐标。按公式 (3)，(4) 式可以表示为 a1ia1j+a2ia2j+⋯+anianj={1,i=j0,i≠j(5)a_{1i} a_{1j} + a_{2i} a_{2j} + \cdots + a_{ni} a_{nj} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} \tag{5}a1ia1j+a2ia2j+⋯+anianj={1,0,i=ji=j(5) (5) 式相当于一个矩阵的等式 A⊤A=E(6)A^{\top} A = E \tag{6}A⊤A=E(6) 或者 A−1=A⊤A^{-1} = A^{\top}A−1=A⊤ 正交矩阵的定义 我们引入 定义 7 nnn 阶实矩阵 AAA 称为正交矩阵，如果 A⊤A=EA^{\top} A = EA⊤A=E。 因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基。 正交矩阵的性质 最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由 A⊤A=E\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}A⊤A=E 即得 AA⊤=EA A^{\top} = EAA⊤=E 写出来就是 ai1aj1+ai2aj2+⋯+ainajn={1,i=j0,i≠j(7)a_{i1} a_{j1} + a_{i2} a_{j2} + \cdots + a_{in} a_{jn} = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases} \tag{7}ai1aj1+ai2aj2+⋯+ainajn={1,0,i=ji=j(7) (5) 式是矩阵列与列之间的关系，(7) 式是行与行之间的关系，这两组关系是等价的。